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Seja bem vindo!
BNCC: EF07MA24 - Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição
de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das
medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
TRIÂNGULOS
Triângulo é uma figura
geométrica formada por três retas que se encontram duas a duas e não passam
pelo mesmo ponto, formando três lados e três ângulos.
Para fazer o cálculo
do perímetro de um triângulo basta
fazer a soma da medida de todos os lados, a soma dos ângulos internos é sempre 180º.
Observando o triângulo podemos
identificar alguns de seus elementos:
TIPOS DE TRIÂNGULOS
Os triângulos podem ser classificados segundo as medidas dos seus lados.
·Triângulo escaleno: Todos os lados e ângulos são
diferentes.
·Triângulos isósceles: dois lados iguais e os
ângulos opostos a esses lados iguais.
·Triângulo equilátero: Todos os lados e ângulos
iguais.
Os triângulos
podem ser classificados segundo seus ângulos internos.
·Triângulo retângulo: tem um ângulo que mede 90º.
·Obtusângulo: tem um ângulo maior que 90°.
·Acutângulo: Tem todos os ângulos menores que 90°.
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO
Para construir um triângulo não
podemos utilizar qualquer medida, tem que seguir a condição de existência: a
medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros
dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas.
Exemplo:
EXERCÍCIOS
1.Analise
os triângulos abaixo e classifique-os segundo seus lados e ângulos:
2.Escreva
as condições de existência dos triângulos abaixo:
a)
b)
Vídeo de apoio
Classificação dos triângulos: https://youtu.be/mYefDqqeKWs
RESOLUÇÃO
DE PROBLEMAS ATRAVÉS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
A
capacidade de resolver problemas é requerida nos mais diversos espaços de
vivência das pessoas, é uma habilidade fundamental necessária para a
compreensão de situações complexas ou mesmo de outras comuns no dia a dia.
Problemas
certamente não são exercícios em que se aplica, de forma quase mecânica, uma
fórmula ou um processo operatório. Só há problema se for necessário interpretar
o enunciado da questão e estruturar a
situação apresentada.
Agora,
no 9º ano, vocês começam a ter a maturidade matemática suficiente para seguir
uma estrutura de resolução desenvolvida por um grande matemático, George Polya.
São quatro etapas:
·Compreensão
do problema: Para compreender um problema é necessário
fazer perguntas: O que é solicitado? Quais são os dados? Quais são as
condições? É possível satisfazer as condições? Elas são suficientes ou não para
determinar a solução? Faltam dados? Que relações posso estabelecer para
encontrar os dados omitidos? Que fórmulas e/ou algoritmos posso utilizar? Neste
processo de compreensão do problema, muitas vezes torna-se necessário construir
figuras para esquematizar a situação proposta, destacando valores,
correspondências e uso da notação matemática.
·Construção
de uma estratégia de resolução: É importante buscar
conexões entre os dados e o que é solicitado, pensar em situações similares, a
fim de que se possa estabelecer um plano de resolução, definir prioridades e,
se necessário, investigações complementares para resolver o problema.
·Execução
de uma estratégia escolhida: Esta etapa é o momento de
“colocar as mãos na massa”, de executar o plano idealizado. Se as etapas
anteriores foram bem desenvolvidas, esta será, provavelmente a etapa mais fácil
do processo de resolução do problema. Para obter sucesso, deve-se realizar cada
procedimento com muita atenção, estando atento a cada ação desenvolvida,
verificando cada passo.
·Revisão
da solução: A revisão é um momento muito importante,
pois propicia uma depuração e uma abstração da solução do problema. A depuração
tem por objetivo verificar os procedimentos utilizados, procurando
simplificá-los ou, buscar outras maneiras de resolver o problema de forma mais
simples. A abstração tem por finalidade refletir sobre o processo realizado procurando
descobrir a essência do problema e do método empregado para resolvê-lo, de modo
a favorecer uma transposição do aprendizado adquirido neste trabalho para a
resolução de outras situações-problema.
As
etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteúdos, seja em atividades
que envolvam tabelas, gráficos ou ainda semelhança de triângulos, medida de
superfícies, equação do 2º grau e etc. Agora que vimos à teoria, vamos à
prática!
Duzentas
e quarenta figurinhas devem ser repartidas por um grupo de crianças, mas na
hora de reparti-las 5 crianças não apareceram para pegar as suas figurinhas.
Por causa disso, cada uma recebeu 8 figurinhas a mais. Quantas crianças
receberam figurinhas?
Compreensão:
o que devemos descobrir (quem ou o que será a variável)?
Estratégia: a
quantidade de figurinhas não muda, portanto dividi-las pelo número original de
crianças, ou o número presente deve ser relacionado:
Resolução:
Aplicando a fórmula resolutiva obtemos as soluções: x’
= 15e x’’ = - 10
Revisão:
Como tratam-se de crianças, a resposta negativa não deve ser considerada e
chegamos a solução: 15 crianças receberam as figurinhas.
Difícil? Complicado? Não, é apenas uma
questão de raciocinar, buscar alternativas de solução. Lembrem-se: A parte
mecânica vocês já dominam (Bhaskara), agora é a hora de refinar, de aplicar o
que sabem. Já tem as ferramentas, agora é hora de usá-las!
EXERCÍCIOS:
seguintes problemas:
1) O triplo do quadrado da idade de Arthur menos 675 é igual a 0.
Qual a idade de Arthur?
2) O quíntuplo do quadrado de um número menos 125 vezes esse número
é igual a 0. Qual é esse número?
3) O sêxtuplo do quadrado da idade de Gabriel menos 216 é igual a
0. Qual a idade de Gabriel?
4) O dobro do quadrado de número de filhos de Suzana é igual a 288.
Quantos filhos Suzana têm?
5) O quádruplo do quadrado de um número menos 100 vezes esse número
é igual a 0. Qual é esse número?
6) O quadrado da minha idade menos 576 é igual a 0. Qual a minha
idade?
7) O dobro do quadrado de um número menos 14 vezes esse número mais
12 é igual a 0. Qual é esse número?
8) O quadrado do número de filhos de Patrícia menos duas vezes o
número de filhos menos 8 é igual a zero. Quantos filhos Patrícia têm?
9) O triplo do quadrado da idade de Miguel mais 12 vezes sua idade
menos 15 é igual a zero. Qual a idade de Miguel?
10) O quadrado do número de filhos de Paulo menos 15 vezes o número
de filhos menos 100 é igual a 0. Quantos filhos Paulo têm?
11) O quadrado da idade de Alexandre menos 7 vezes sua idade menos
30 é igual a zero. Qual a idade de Alexandre?
12) O quadrado do número de filhos de Denise menos o triplo deste é
igual a 10. Quantos filhos Denise têm?
13) O sêxtuplo do quadrado da idade de Plínio menos 12 vezes sua
idade é igual a zero. Qual a idade de Plínio?
14) O quadrado da quantia que eu tenho menos 45 vezes esta quantia
é igual a 250 reais. Quantos reais eu possuo?
15) O dobro do quadrado da idade de Vânia menos o dobro da sua
idade é igual a 12. Qual a idade de Vânia?
16) O quadrado de um número menos onze vezes este número mais 28 é
igual a zero. Qual é esse número?
17) Há dois números cujo triplo do quadrado é igual a 15 vezes
estes números. Quais são estes números?
18) O quadrado de um número menos nove vezes esse número é igual a
menos 18. Qual é esse número?
19) Quais são os números inteiros consecutivos, cujo produto é 12?
20) O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 63
menos 12 vezes o número de filhos. Quantos filhos Pedro têm?
BNCC: EF07MA03 - Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos,
incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações
que envolvam adição e subtração.
MÓDULO DE UM NÚMERO
INTEIRO
nos anos anteriores vimos como distribuir os números sobre a reta numérica,
agora vamos conhecer um importante conceito o valor absoluto ou módulo de um número inteiro. O módulo é a
distância entre a origem (o zero) e o ponto que representa esse número. Veja:
·O valor absoluto do
número −4 é 4;
·O valor absoluto do
número +8 é 8;
·O valor absoluto do
número 0 é 0.
Com esta ideia, podemos construir outro
conceito: o oposto ou simétrico
de um número. Dizemos
que dois números que estejam a uma mesma distância da origem, porém em sentidos
opostos, são simétricos. Assim, um determinado número inteiro com sinal positivo terá, como seu oposto, esse
mesmo número com sinal
negativo. Portanto podemos afirmar que o oposto, ou simétrico, de +9 é o – 9, porque a distância de +9
à origem é a mesma de – 9 à origem.
Deste modo:
üO valor
absoluto de um número inteiro negativo é o oposto desse número. Exemplo:
a) O valor absoluto de −8 é 8;
b) O valor absoluto de −3 é 3;
c) O valor absoluto de −14 é 14.
üO valor
absoluto de um número inteiro positivo, ou nulo, é o próprio número.
a) O valor absoluto de 2 é 2;
b) O valor absoluto de 6 é 6;
c) O valor absoluto de 0 é 0.
Para representar
o valor absoluto, ou módulo, de um número, colocamos esse número entre duas
barras. Assim, o módulo do número −2 pode ser indicado por |−2|.
Os exemplos apresentados enfatizam o fato de
que o módulo, ou o valor absoluto, de qualquer número, diferente de zero, É SEMPRE UM NÚMERO POSITIVO.
Lembrando que isso ocorre porque estamos considerando a distância entre esse
número e o zero na reta numérica.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1.Determine
o módulo e o oposto dos números abaixo:
a) -16 b) +53 c) -22 d)
+10
2.Resolva as expressões
abaixo:
a)|-2|
+ |-17|
b)|-72|
: |+8|
c)|-17|
. |+7|
d)|-4|
+ |+3|
e)|(30)
+ | -16|
f)|-23|
+ (19)
g)|-12|
+ (+15)
h)(+ 3) - | - 9|
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
DE NÚMEROS INTEIROS
Para efetuar as adições e subtrações de números inteiros, devemos ter
muita atenção aos sinais positivos e negativos, assim como dominar o conceito
módulo de um número. Vamos estruturar estas operações:
a)Adição e subtração de números inteiros SEM a presença de parênteses.
Nesta situação a regra é bastante simples:
üSinais iguais: adicionamos os módulos
e conservamos o sinal.
üSinais diferentes: subtraímos os
módulos e conservamos o sinal do número
de maior módulo.
Exemplos:
a)+ 6 + 7 = + 13
b)– 7 + 4 = – 3
c)+ 10 – 8 = +2
d)– 5 – 7 = –12
b)Adição e subtração de números inteiros COM a presença de parênteses.
Nesta situação devemos eliminar os parênteses. Para isto devemos
lembrar: um sinal + antes do parênteses não altera o sinal do número DENTRO do
parênteses, já um parênteses precedido de um sinal de menos indica que devemos
utilizar o OPOSTO do número que está entre os parênteses. Após a eliminação dos
parênteses, seguimos as regras já estabelecidas, vejamos alguns exemplos:
a)+ (+7) + (–5) = + 7 – 5 = + 2
Neste exemplo apenas eliminamos os parênteses e efetuamos uma subtração,
pois temos números de sinais diferentes, o sinal da resposta é positivo pois |
+7| > | - 5|.
b)– (– 9) – (+5) = + 9 – 5 = + 4
Neste exemplo o sinal – antes do primeiro parênteses indica que devemos
substituir o – 9 por + 9, o mesmo ocorrendo no segundo para a troca do +5 por –
5.Com os sinais diferentes subtraímos
e, como | + 9| > | - 5|, o sinal da resposta será positivo.
c)+ (– 10) – (– 6) = – 10 + 6 = –
4
Neste exemplo devemos efetivar a troca apenas no segundo parênteses,
assim chegamos numa subtração pois os sinais são diferentes. A resposta é
negativa pois |- 10| > | + 6|.
d)– (+ 15) − (– 8) = – 15 + 8 = – 7
Neste exemplo ambos os números terão seus sinais trocados resultando
numa subtração. O sinal da resposta é negativo pois | - 15| > | + 8|.
e)– ( + 8 ) + (– 11) = – 8 – 11 = – 19
Neste exemplo apenas o primeiro parênteses necessita sofrer alteração.
Embora os dois sinais resultantes sejam negativos devemos SOMAR os números,
podemos imaginar uma situação em que estamos somando nossas dividas para saber
o valor total a ser pago, sendo assim o sinal da resposta permanece negativo.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1.Calcule:
a)45 – 35 – 25 – 15b) – 35 + 15 – 25 + 5
c)
– 5 + 25 – 35 + 15d) 5 – 35 + 15 – 45
2.Calcule:
a)( + 6) – ( - 3)
b)( + 4) – ( - 9)
c)(+10) – ( + 3)
d)(+8) – ( +9)
e)(-17) – ( -3)
f)(-9) – ( +10)
g)(-8) – ( -12)
h)(-1) – 2
3.Elimine os parênteses e calcule:
a)(+3) + (-2) + (+1)
b)(-7) – (+2) – (-4)
c)(-3) + (-5) – (-6)
d)10 – (-4) – (+6)
e)(-20) + (-10) + (+5)
f)– (-8) + (-6) – (+7)
4.Qual é o sinal: + ou – ? Descubra o sinal que deve ser colocado
no lugar de cada lacuna para que as igualdades fiquem corretas.
a)(- 8) ____ ( - 13) = - 21
b)(- 9) ____ (+ 9) = - 18
c)(- 3) ____ (- 2) ____ (+ 1) = - 6
d)(- 2) ____ (+ 2) ____ (- 2) ____ (- 4) = -2
e)( -1) ____ (- 1) ____ (- 1) = -1
f)(- 3) ____ (+ 2) = - 5
5.Que número deve ser colocado no lugar de cada lacuna?
a)15 - ____ = 10
b)5 - ____ = 10
c)0 - ____ = 10
d)(- 5) - ____ = 10
e)(- 15) - ____ = 10
f)(- 20) - ____ = - 10
g)(- 10) - ____ = 10
h)0 - ____ = - 10
i)10 - ____ = - 10
j)20 - ____ = - 10
6.A temperatura hoje está 10 °C. Se ela
diminuir 2 °C por dia, calcule como ficará daqui a uma semana.
7.Um alpinista, ao descer uma montanha,
percebe que a temperatura aumenta 2 °C a cada dia. Quando ele saiu, a
temperatura estava 6 °C. Duas semanas depois ele chegou a base da montanha.
Calcule qual era a temperatura que ele encontrou ao término da descida.
