Os números também podem ser… amigos!

Assim como acontece com as pessoas, existem números que têm uma certa afinidade. Vamos ver em que consiste essa relação de amizade.

Dois números amigáveis ​​são dois inteiros positivos tais que a soma dos divisores próprios de um é igual ao outro número e vice-versa ( a unidade é considerada um divisor próprio, mas o número em si não).

Um exemplo é o par de números naturais (220, 284), pois:

• Os divisores próprios de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110, que somam 284;

• Os divisores próprios de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142, que somam 220.

Se um número é amigo de si mesmo (é igual à soma dos seus divisores próprios), então é chamado de número perfeito (por exemplo 6, uma vez que os seus divisores próprios são 1, 2 e 3; e 6 = 1 + 2 +3).

Já na Grécia antiga, os pitagóricos observaram essa relação que vimos entre os números 220 e 284 e já naquela época os chamavam de números amigáveis. Para os pitagóricos, os números amigáveis ​​tinham muitas propriedades místicas.

No mundo árabe, os números amigáveis ​​desempenharam um papel significativo na matemática islâmica. Por volta do ano 850, Tabit ibn Qurra (826-901) descobriu uma fórmula geral pela qual os números amigáveis ​​podiam ser encontrados. Então se:

p = 3.2n-1 - 1

q = 3.2n - 1

r = 9.22n-1 - 1

Onde n > 1 é um número inteiro e p , q e r são números primos (inteiros maiores que 1 que possuem apenas dois divisores diferentes: ele mesmo e 1), então é válido que 2npq e 2nr são um par de números amigáveis.

Esta fórmula gera os pares (220, 284), (1184, 1210), (17.296, 18.416) e (9.363.584, 9.437.056).

Uma nova prova do teorema de Thabit ibn Qurra foi fornecida no final do século XIII por al-Farisi (1260), que introduziu novas ideias importantes nas áreas de fatoração e métodos combinatórios.

Ele também apontou o par de números amigáveis ​​17.296 e 18.416; Esta descoberta foi atribuída a Leonhard Euler (século XVIII), mas sabe-se agora que foram conhecidas cinco séculos antes por al-Farisi, e talvez ainda antes pelo próprio Thabit ibn Qurra.

Vale a pena notar que no século XVII Muhammad Baqir Yazdi encontrou o par 9 363 584 e 9 437 056, ainda muitos anos antes da contribuição de Euler.

Na Idade Média, existia a crença de que se você alimentasse duas pessoas (ao mesmo tempo, mas não no mesmo lugar) com comida que contivesse a inscrição 220 para uma e 284 para a outra, elas se tornariam amigas pela arte mágica.

No Ocidente, durante muitos séculos, 220 e 284 foram o único par conhecido de números amigos, até que em 1636 Euler redescobriu (pois como já disse, no mundo árabe al Farisi já o havia descoberto) que 17.296 e 18.416 também são amigos.

Em 1638, Descartes, colega e concorrente de Fermat, encontrou o terceiro par: 9.363.584 e 9.437.056.

Como vimos, grandes matemáticos ao longo da história dedicaram muito tempo ao estudo desses números com uma relação de amizade tão peculiar, entre eles Maslama al-Mayriti (falecido em 1007), Abu Mansur Tahir al-Baghdadi (980-1037), Pierre de Fermat (1601-1665), René Descartes (1596-1650), a quem às vezes é atribuída a fórmula Tabit, C. Rudolphus e outros. A fórmula de Tabit foi generalizada por Euler.

A seguir apresento uma tabela mostrando os pares de números amigáveis ​​de 1 a 20.000.000. Fica o desafio de conferir se a tabela está correta!

Traduzido de https://matematicascercanas.com/2014/05/20/los-numeros-tambien-pueden-ser-amigos/

TRILHA PITAGÓRICA - UMA ATIVIDADE LÚDICA

TRILHA PITAGÓRICA é um jogo de tabuleiro que pode ser impresso para utilização em sala de aula.

Para cada grupo de 2 a 4 alunos são necessários:

·         Tabuleiro

·         Conjunto de cartas com as perguntas

·         Um dado comum

·         Peões ou marcadores

O jogo pode ser disputado de forma individual ou em duplas. A disputa é realizada no sentido horário, após sortear quem inicia o jogo o dado determinará o número de casas que o jogador moverá seu peão. Ao cair numa casa com uma instrução esta deverá ser seguida. Quando um jogador parar em um ponto de interrogação, outro jogador comprará uma carta e a lerá. Se o primeiro jogador responder corretamente, essa pessoa avança duas casas; caso contrário, o jogador retrocede duas casas. O jogo continua até que um jogador cruze a linha de chegada.

Este jogo é uma adaptação do Pythagorean Theorem Game, publicado originalmente na revista Mathematics Teacher, em dezembro de 1995.

 

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Jogo pedagógico para os anos iniciais

 

'Rolando Dados' e 'Quantidades' são duas atividades desenvolvidas para serem aplicadas na educação infantil, nos anos iniciais do ensino fundamental e, também, na educação de jovens e adultos.

 

O material necessário é bastante simples: reprodução das páginas (disponibilizado na descrição do vídeo) e um dado comum, que pode ser confeccionado pelos próprios alunos.

 

Ambas as atividades possuem uma dinâmica similar: os alunos, separados em grupos ficam de posse de uma reprodução do material, um dado é disponibilizado e na sua vez de jogar, o aluno rola o dado e pinta na cartela o resultado obtido passando o dado para o colega do seu lado esquerdo (sentido horário). Com o desenrolar do jogo é possível que o aluno obtenha um mesmo resultado repetidas vezes não sendo possível pintar sua cartela, neste caso ele passa a vez para o próximo colega, sempre mantendo o sentido horário. O vencedor será o aluno que pintar todos os seus resultados primeiro.

Os Multoches

        Esta postagem é saudosista, nos primórdios da TV Escola uma série francesa de animação buscava introduzis as crianças no mundo da matemática. Eram 52 episódios em que as "personagens" eram os algarismos indu-arábicos e, algumas vezes, tinham com antagonistas os algarismos romanos. As pequenas histórias, com pouco mais de 3 minutos de duração, traziam os algarismos em diversas situações do cotidiano. Com a extinção da TV Escola, o acesso a esses vídeos ficou muito mais difícil. 

        Tenho tentado resgatar este vídeos, os que já consegui estão disponíveis no canal, deixarei os links abaixo. É um material muito bom que pode enriquecer as nossas aulas, em especial para os alunos que estão iniciando sua vida escolar.

        Aproveitem e, assim como eu, divirtam-se assistindo!

episódio 01 - A grande parada

episódio 02 - A familia

episódio 06 - A Batalha

episódio 12 - O sonho do pequeno zero

episódio 15 - O ano novo

episódio 18 - O aniversário

episódio 51 - O calendário

Moebius e os objetos impossíveis

Há 160 anos, August Moebius construiu uma ponte para outra realidade, na qual as regras são diferentes daquelas do nosso mundo tridimensional. A sua grande descoberta, hoje conhecida como "tira de Moebius", é um objeto que desafia o bom senso, os nossos preconceitos do que é intuitivo, e que possui curiosas propriedades matemáticas, que promoveram o conhecimento e o desenvolvimento da topologia. Além disso, as peculiaridades dessa estranha forma de visualizar o infinito foram traduzidas em aplicações práticas engenhosas, a maioria delas voltadas para a obtenção de dispositivos mais eficientes e duráveis. Não é por acaso que uma tira de Moebius é a base do símbolo mundial de reciclagem.

Parece um círculo infinito normal, mas não é. Se pensarmos em uma como uma roda, é fácil imaginar uma formiga andando em sua superfície externa sem nunca chegar ao fim. A tira de Moebius leva essa ideia de infinito ainda mais longe, e nos coloca na difícil posição de imaginar uma formiga que passa por sua superfície externa e interna a cada volta, e também sem cruzar nenhuma de suas bordas, como imaginado por MC Escher. É por isso que desde que o matemático alemão August Ferdinand Moebius (17 de novembro de 1790 - 26 de setembro de 1868) o descreveu em 1858, ele não deixou de fascinar artistas, engenheiros, ambientalistas e cientistas.

A tira de Moebius cumpre o duplo paradoxo de ser uma tira de um lado e ter uma única borda. É um objeto bidimensional que se infiltrou em nosso mundo tridimensional e também está disponível para qualquer pessoa manufaturá-lo. A sua forma mais simples é conseguida pegando numa fita (que podemos obter cortando em linha recta ao longo de uma folha de papel) e juntando as suas pontas, mas virando uma delas meia volta antes de colar.

Existem muitas outras versões do quebra-cabeça de Moebius, que podem ser conseguidas com fitas de qualquer formato e tamanho, desde que as pontas se juntem  para dar um número ímpar de voltas. E essa ideia inspirou outro matemático alemão, Felix Klein, a imaginar em 1882 o que hoje conhecemos como "garrafas de Klein". São objetos quadridimensionais que não podemos construir em nossa realidade tridimensional, mas se conseguirmos visualizá-los vão nos confundir ainda mais: são recipientes teóricos que não podem conter um líquido, porque por dentro e por fora se confundem.

As tiras de Moebius e as garrafas de Klein compartilham uma curiosa propriedade matemática, no campo do estudo da topologia. Eles são inorientáveis, algo que simplificando pode ser explicado pensando que se desenharmos uma flecha neles, é impossível concluir se aquela flecha aponta para cima ou para baixo. Em um mundo inorientável, nossa imagem e a que vemos no espelho seriam indistinguíveis.

Mas voltando ao nosso mundo e deixando de lado a matemática teórica, a grande ideia de Moebius foi aplicada a esteiras transportadoras que duram mais (porque toda a sua superfície é usada igualmente) e a fitas para gravar sons que não precisam ser trocar de face, podendo ser usado o dobro do tempo sem interrupção e pode ser usado para reproduzir música em um loop infinito. Sua aplicação em componentes eletrônicos também foi patenteada (como um resistor que não produz interferências magnéticas) e seu uso está sendo investigado para obter supercondutores de alta temperatura de transição, motores moleculares e estruturas de grafeno com novas características eletrônicas.

Essas aplicações vão muito além do que August Moebius imaginou quando descreveu cientificamente esse "objeto impossível" em 1858. Embora seja justo admitir que esse matemático e astrônomo teórico não foi o primeiro a fazê-lo. Outro matemático alemão, Johann Benedict Listing, teve a mesma ideia independentemente alguns meses antes. Nenhum dos dois inventou a fita de um lado - o conceito é pelo menos 1.600 anos mais antigo, já que uma estrutura semelhante a uma faixa de Mobius pode ser vista em mosaicos romanos que datam do século III.

No entanto, o peso científico de August Moebius - discípulo do grande matemático Carl Friedrich Gauss e que veio dirigir o observatório astronômico da prestigiosa Universidade de Göttingen - serviu para dar-lhe o nome e popularizar esta excentricidade matemática cuja grande aplicação, sobretudo , tem sido estimular-nos a imaginar além do espaço em que vivemos.

Texto traduzido do original em espanhol de Francisco Doménech @fucolindisponível clicando aqui.

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE MONÔMIOS

 MULTIPLICAÇÃO DE MONÔMIOS

 

Para multiplicar monômios multiplicamos os coeficientes e, a seguir, utilizamos a propriedade da multiplicação de potências de mesma base nas variáveis. Vamos recordá-la:

2³.2⁵ = 2³⁺⁵ = 2⁸                                  5².5⁴ = 5²⁺⁴ = 5⁶

Ou seja, basta somar os expoentes, mantendo a mesma base. Aplicando nas variáveis, teremos situações como as dos exemplos a seguir:

DIVISÃO DE MONÔMIOS

Seguindo a mesma ideia das propriedades das potências de mesma base devemos dividir os coeficientes e subtrair os expoentes, vejamos alguns exemplos de divisão de monômios:

EXERCÍCIOS

 

Efetue:

vídeo de apoio:

multiplicação e divisão de monômios: https://youtu.be/TOFnIF8GZZ0

Cruzadinha Matemática

Novo material disponível!

Cruzadinhas Matemáticas envolvendo as operações fundamentais, este material pode ser trabalhado em diversas etapas do processo de ensino-aprendizagem. São 17 páginas de atividades com soluções para serem utilizadas na sala de aula.

Para fazer o download do arquivo em PDF CLIQUE AQUI.

Vídeo exemplo: https://youtu.be/zSH6AiP3EK8